Junto
con la toma de decisiones bajo incertidumbre, es el capítulo que más ha
influido en el desarrollo actual de la Teoría de la Decisión.
En
el siglo XVIII, los matemáticos franceses Borda y Condorcet estudiaron los
sistemas de elección en procesos democráticos. Otros
hombres de ciencia que han contribuido a su desarrollo son: Arrow, Black, Nash,
Coombs, Luce, Raiffa, etc.
El
problema de la decisión colectiva es particularmente importante en los ámbitos
económico y sociológico, una sociedad desarrollada exige de manera constante la
elaboración de decisiones que afectan al colectivo como tal.
La
experiencia histórica indica que los métodos de decisión colectiva han sido:
- La
adopción de decisiones con referencia a un código moral
- Las
decisiones han sido tomadas por un individuo o grupo sin consulta a la colectividad
- Las
decisiones se toman por la colectividad misma, bien directamente o bien,
mediante sus representantes elegidos por algún tipo de votación
Los
dos primeros casos conducen a una elección individual por lo que nos limitamos
aquí al tercer caso.
En
su expresión más general, el problema de la decisión colectiva consiste en
definir los métodos equitativos que permitan combinar decisiones individuales
de modo que nos conduzcan a una decisión colectiva.
Se
pretende entonces definir una función llamada de bienestar social que a partir
de las decisiones individuales nos permita encontrar una ordenación única que
consiga el máximo nivel de satisfacción de la colectividad
EL
PROCEDIMIENTO MAYORITARIO DE ELECCIÓN
Si
limitamos el problema de decisión colectiva a la selección del mejor entre dos
candidatos A y B mediante la votación de los n individuos consistente en elegir
cada uno al que considera más idóneo, existe solución satisfactoria según la
regla de la mayoría, así; si de 100 votantes 57 refieren a A y 43 a B, el candidato A dará
satisfacción a la mayoría de los votantes.
Condorcet
analiza el problema que se plantea cuando hay tres o más candidatos, en este
caso la ley simple de la mayoría tendría en cuenta sólo la prioridad de A sobre
otros, lo que nos impide conocer con más precisión la opinión del votante, y
afirma que este procedimiento, para el caso de más de dos candidatos no nos
garantiza la elección más acertada, y que con probabilidad nos conducirá a una
decisión infortunada, esto es, que no nos proporcione el máximo bienestar.
La
decisión más acertada supone entonces conocer todos los matices de la opinión
de los votantes sobre los candidatos, lo que puede hacerse de dos formas:
a)
Cuantitativa.
Que
consiste en asignar un número a cada candidato que mida la ordenación
establecida o el mérito atribuido. Este método fue propuesto por Borda en 1781
y adoptado en algunas localidades como Génova. También para la elección del
mejor jugador de baloncesto en la
NBA.
Tiene
el inconveniente de que al asignar 0 al peor candidato, 1 al siguiente, etc.,
puede no medir exactamente el mérito que el votante asigna a cada candidato,
sería preciso definir escalas más amplias con la consiguiente dificultad de
cuantificación de una cualidad.
b)
Cualitativa.
Con
la ventaja de que el votante expresa su opinión mediante una ordenación de
candidatos, lo que introduce mayor facilidad al problema simplificándose la
labor de escrutinio. Existen w! órdenes de preferencia u opiniones individuales
posibles, así para 3 candidatos serían posibles 3! = 6 ordenaciones.
El procedimiento de decisión por pares
Propuesto
por Condorcet, consiste
en analizar para cada pareja de candidatos el orden de preferencias votado por
la colectividad, y ello aplicando la regla de la mayoría simple, que da buenos
resultados para las ordenaciones de cada dos candidatos.
El efecto Condorcet
Se
conoce con este nombre el no cumplimiento de la transitividad en el
procedimiento de decisión por pares, como demuestra el siguiente ejemplo.
No
se verifica la propiedad transitiva y se llega a una preferencia cíclica.
Este
efecto se presenta en votaciones de sociedades o conjunto de individuos con una
profunda división en la población de votantes.
El teorema de Arrow
Ante
los resultados obtenidos por Condorcet, Karl Arrow, en su libro "Social
Choice and Individual Values", publicado en 1951, aborda el problema que
plantea la búsqueda de una función de bienestar social F a la que impone dos
requisitos en forma de axiomas:
Axioma
1. Soberanía de la colectividad.
La
aplicación F ha de ser sobreyectiva para que ningún orden sea excluido "a
priori".
Axioma.
2. Asociación positiva entre valores.
F
debe ser tal que si, para cierto estado de opinión A B, y en otro estado
los individuos que preferían A a B no han modificado su opinión, también en
este estado debe ser A B.
A
partir de estos dos axiomas, Arrow propone su teorema llamado de la
imposibilidad, para lo que restringe el dominio de F [(w!)n órdenes posibles
para w alternativas y n individuos], exigiendo a F verificar las condiciones.
C1. Dominio universal.
F
debe estar definida para todo perfil de preferencias individuales.
C2. Principio de Pareto.
Si
F indica A B para un cierto
estado de opinión, y los individuos no cambian esta relación o la modifican en
favor de A, entonces para la colectividad debe ser A B.
C3. Independencias de alternativas irrelevantes.
Sea
R1 R. Si un perfil de R
se modifica de tal modo que los elementos pertenecientes a R1 no alteran su
posición relativa, la función de grupo resultante del perfil original y del
modificado deben ser idénticas para las alternativas de R1.
C4. Soberanía de los individuos.
Para
cada par de alternativas A, B existe al menos un perfil de preferencias
individuales, para el cual la función de grupo da A B.
C5. No dictadura.
No
existe un individuo tal que cuando él prefiere A a B, la sociedad prefiere A a
B, cualquiera que sean las preferencias de los restantes individuos.
El
teorema de Arrow afirma que no existe una función de grupo tal que verifique
las cinco condiciones, o de otro modo; si verifica las condiciones C1, C2, C3 y
C4, entonces es dictatorial. Un bosquejo de la demostración de este teorema
puede verse en el libro de Rafael Infante, y la demostración completa en el de Luce
y Raiffa.
El criterio de Borda
En
1781 Borda da un criterio de preferencia colectiva, este consiste en asignar un
peso a cada candidato según el lugar que ocupe en la ordenación, si suponemos
cuatro candidatos A, B, C y D, el último tendrá un peso 0, el penúltimo 1, el
segundo 2 y el primero 3.
Una
vez asignados los pesos a los candidatos, según su lugar de colocación, hacemos
recuento de los pesos atribuidos por todos y cada uno de los votantes, para
elegir aquel candidato que haya alcanzado el peso total más alto.
Por
el método de Condorcet resultaría elegido el candidato C, mientras que por el
método de Borda el candidato elegido sería B que aventaja en 31 votos a A, etc,
lo que confirma lo demostrado por Arrow.
El
criterio de Borda presenta la ventaja de que el candidato elegido alcanza mayor
número de votos en las comparaciones paritarias con respecto a cada uno de los
otros candidatos.
Procedimiento de Black y Coombs
Black
y Coombs han propuesto un método que resuelve a satisfacción el problema cuando
las alternativas que se comparan son cuantitativas. Encajan el problema del
escrutinio como un modelo de Álgebra. Los problemas que son objeto del Álgebra
abstracta aparecen siempre que es necesario componer varios elementos para
obtener como resultado uno que pertenezca a la misma especie.
Estas
dos características están presentes en el problema del escrutinio.
Cada
opinión individual puede ser reducida a un conjunto de respuestas si o no, que
representaremos por + o a una serie de preguntas. De
donde deducimos que la afirmación de uno cualquiera de los juicios implica la
afirmación de los que están a su izquierda y sobre él.
Podemos
distinguir en él dos regiones, la positiva, respuestas afirmativas, y la
negativa, respuestas negativas, que siempre podrán separarse por una frontera.
Pasemos
a ver como varias opiniones de esta especie dan lugar a una opinión colectiva
cuando se aplica la regla de la mayoría simple a cada juicio.
Si
imaginamos superpuestas las opiniones individuales a cada comparación de dos
alternativas corresponderá n signos, la regla de la mayoría permitirá asignar
un + o un en todos los casos si n es impar, si fuera par puede darse empate,
en cuyo caso podría recurrirse al voto del presidente o algo similar.
Resumiríamos así la opinión de los n votantes en un solo cuadro del que puede
ser extraída la ordenación óptima.
La
restricción impuesta de unimodalidad, limita el conjunto de ordenaciones a los
llamados órdenes blackianos. Se demuestra que para w alternativas existen 2w-1
órdenes blackianos, que pueden ser reconocidos, tras su representación gráfica,
por poder recorrerse en una o dos secuencias, de izquierda a derecha y de
derecha a izquierda la ordenación A B C D E F G ... en ellos
UTILIDAD MEDIA PONDERADA
Todos
los métodos de toma de decisiones colectivas hasta ahora expuestos presuponen la misma
importancia o “peso relativo” a cada votante.
Si
este requisito no se cumple, el problema tiene solución tanto para alternativas
cualitativas como cuantitativas.
Cada
votante expresa su opinión asignando una nota o “utilidad” a cada alternativa
en cualquier escala de intervalo previamente acordada; [0-10], [0-100], etc.
Por otra parte, si p1, p2,……. pn son los pesos de cada votante (ejemplo:
porcentaje de participación en las sociedades), las alternativas que se
comparan quedan ordenadas por su utilidad media ponderada.
